今、素数が有限個であると仮定する（例えば、ｎ個であったとする。)
それぞれの素数に名前をつけて、小さい順にａ１，a2，…ａｎと呼ぶことにする。
(例えば、a1＝2，a2＝3，a3＝5…のようにする。)
ここで、bとして
b＝(a1×a2×a3×…an)＋１
を考えると
bはa1からanのどれをも因数に持たない(つまり、ａ１からａｎのどの数でも割れない)。素数で割れなければ、それの組み合わせであるほかの数でも割れないから、bは１とｂ以外に因数を持たない。すなわち、bは素数である。これは、仮定に矛盾する。よって、素数は無限にある。
